sábado, 23 de agosto de 2014

Secção Áurea: a beleza na natureza

 


A proporção divina
De divine proporcione (1490)
Leonardo da Vinci
(1452-1519)

Divisão áurea é a secção de uma área feita segundo

a proporção de 1/3 : 2/3 (um terço para dois terços)

Por Euclides era chamada divisão em média e extrema razão, também conhecida por secção divina pelo matemático Luca Pacioli

ou secção áurea segundo Leonardo da Vinci.





     Qual é sua importância para nós agora, pessoas cercadas de tecnologia pronta e acessível a todos? É fácil perceber que tudo o que nos cerca tem harmonia que proporciona um equilíbrio natural. É o que torna toda a forma bela.
     

Euclides de Alexandria (c.300 a.C.)
matemático, professor e escritor
     A sensação causada na experimentação (visual, palatável, audível ou tátil) é chamada Estética. A percepção estética, o modo de interpretar o que nos cerca e o modo de reproduzir as coisas da natureza. Essa é sua importância!
    
     Descoberta por Hípaso (membro na escola de Pitágoras) ou explorada pelo arquiteto Le Corbusier (1887-1965), a proporção áurea parte do número de ouro, representado pela letra grega phi  (homenagem ao escultor e arquiteto grego Phídeas, 470-425 a.C.). O número de ouro é semelhante ao Pi, porque o resultado da equação que lhe dá origem é uma sequência de números decimais que não se repetem:



      Se já descobrimos de onde veio o número de ouro, como se aplica? Ele aparece em quase todo lugar na natureza e nas coisas que consideramos belas.

Luca Pacioli (1445-1517) , monge
e matemático considerado
pai da Contabilidade Moderna

    No século XIII, o matemático italiano Leonardo Fibonacci estava estudando o crescimento de uma população de coelhos e se questionou a respeito de quantos coelhos teria no final de um ano, se tivesse somente um casal no início do ano e se nenhum coelho morresse nesse período. Ele se surpreendeu ao descobrir que a partir do terceiro mês, a quantidade de coelhos no mês seguinte era igual à soma dos dois meses anteriores. E dessa forma ele teria 144 coelhos no final do ano. Fibonacci ficou tão intrigado com essa relação que começou a estudar essa sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...) na natureza e a encontrou nas pétalas das rosas, nos caules das árvores e nas conchas em espiral do náutilo, um molusco marinho; à medida que esse molusco vai crescendo, sua concha cresce seguindo a razão áurea, em uma espiral logarítmica .

 

 
     Vamos observar a Definição Algébrica disponível no blog http://matematica-na-veia.blogspot.com.br/2008/03/phi-razo-area-e-curiosidades-matemticas.html

A razão áurea é definida algebricamente como a+b/a=a/b=φ
 A equação da direita mostra que, a=b φ o que pode ser substituído na parte esquerda. Temos, assim φb+b/bφ= bφ/b
Cancelando b em ambos os lados, temos. φ+1/ φ= φ
Multiplicando ambos os lados por φ nos dá φ+1= φ 2
Finalmente, arrumando os termos da equação, encontramos φ2- φ -1=0 que é uma equação quadrática da forma, a x 2+ bx+c = 0
Dados os valores, em que:  a=1,b=-1 e c=-1
Agora, basta resolver esta equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara
A única solução positiva desta equação quadrática é ,
que é o número φ .
 
A construção do retângulo áureo é simples. Basta seguir o esquema:
 

 

Um exemplo bastante atual do uso da secção áurea é o uso das guias nas configurações de câmeras digitais de fotografia.






 

 

Indicação de vídeos


 
 

Referências externas (clique no link para acessar)


Euclides de Alexandria. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Euclides
Le Corbusier. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Le_Corbusier
Leonardo da Vinci. Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/leonardo.htm
Luca Pacioli. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Luca_Pacioli
FERRER, Josiane Vieira. O número de ouro na arte, arquitetura e natureza: beleza e harmonia. Artigo disponível em: http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22005/JoseaneVieiraFerrer.pdf
Número de Ouro. Disponível em: http://www.escolakids.com/numero-de-ouro.htm


Luca Pacioli (1445-1517) , considerado
pai da Contabilidade Moderna


 

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